It is a survey article showing how an enhanced version of the Banach contraction principle can lead to generalizations of attractors of iterated function systems and to Julia type sets.

We present a collection of problems in complex analysis and complex dynamics in several variables.

We are interested in deformations of Baker domains by a pinching process in curves. In this paper we deform the Fatou function $F\left(z\right)=z+1+e^{-z}$, depending on the curves selected, to any map of the form $F_{p/q}\left(z\right)=z+e^{-z}+2\pi ip/q$, p/q a rational number. This process deforms a function with a doubly parabolic Baker domain into a function with an infinite number of doubly parabolic periodic Baker domains if p = 0, otherwise to a function with wandering domains. Finally, we show that certain attracting domains can be deformed by a pinching...

We show that the singular holomorphic foliations induced by dominant quasi-homogeneous rational maps fill out irreducible components of the space ${ℱ}_q(r,d)$ of singular foliations of codimension $q$ and degree $d$ on the complex projective space ${\mathbb{P}}^r$, when $1\le q\le r-2$. We study the geometry of these irreducible components. In particular we prove that they are all rational varieties and we compute their projective degrees in several cases.

A monomial self-map $f$ on a complex toric variety is said to be $k$-stable if the action induced on the $2k$-cohomology is compatible with iteration. We show that under suitable conditions on the eigenvalues of the matrix of exponents of $f$, we can find a toric model with at worst quotient singularities where $f$ is $k$-stable. If $f$ is replaced by an iterate one can find a $k$-stable model as soon as the dynamical degrees ${\lambda }_k$ of $f$ satisfy ${\lambda }_k^2\>{\lambda }_{k-1}{\lambda }_{k+1}$. On the other hand, we give examples of monomial maps $f$, where this condition...

This article is about almost reducibility of quasi-periodic cocycles with a diophantine frequency which are sufficiently close to a constant. Generalizing previous works by L.H. Eliasson, we show a strong version of almost reducibility for analytic and Gevrey cocycles, that is to say, almost reducibility where the change of variables is in an analytic or Gevrey class which is independent of how close to a constant the initial cocycle is conjugated. This implies a result of density, or quasi-density,...

In the moduli space ${ℳ}_d$ of degree $d$ rational maps, the bifurcation locus is the support of a closed $(1,1)$ positive current $T_{\mathrm{bif}}$ which is called the bifurcation current. This current gives rise to a measure ${\mu }_{\mathrm{bif}}:={\left(T_{\mathrm{bif}}\right)}^{2d-2}$ whose support is the seat of strong bifurcations. Our main result says that $\mathrm{supp}\left({\mu }_{\mathrm{bif}}\right)$ has maximal Hausdorff dimension $2(2d-2)$. As a consequence, the set of degree $d$ rational maps having $(2d-2)$ distinct neutral cycles is dense in a set of full Hausdorff dimension.

We study topology of leaves of $1$-dimensional singular holomorphic foliations of Stein manifolds. We prove that for a generic foliation all leaves, except for at most countably many, are contractible, the rest are topological cylinders. We show that a generic foliation is complex Kupka-Smale.

We show that, for the family of functions $F_{\lambda }\left(z\right)=zⁿ+\lambda /zⁿ$ where n ≥ 3 and λ ∈ ℂ, there is a unique McMullen domain in parameter space. A McMullen domain is a region where the Julia set of $F_{\lambda }$ is homeomorphic to a Cantor set of circles. We also prove that this McMullen domain is a simply connected region in the plane that is bounded by a simple closed curve.

Viene considerato il problema della stabilità di un punto fisso per un germe di diffeomorfismo di più variabili complesse cercando un coniugio con la sua parte lineare: Problema del centro di Schröder-Siegel. Dopo aver formulato il problema e ricordato i principali risultati nel caso di diffeomorfismi olomorfi, mostriamo come estendere il problema ad alcune situazioni non olomorfe, in particolare ci interesseremo al caso di germi Gevrey. Concluderemo con un'applicazione rivolta a mostrare la stabilità...

Nous construisons des mesures selles (dans un sens faible) pour les endomorphismes holomorphes de ${\mathbb{P}}^2\left(ℂ\right)$.

Nous étudions les propriétés arithmétiques des itérés de certains automorphismes polynomiaux affines. Nous traitons des questions concernant les points périodiques et non-périodiques, en particulier nous comptons les points rationnels dans les orbites des points non-périodiques. Nous traitons le cas des automorphismes réguliers et triangulaires. Nous achevons de répondre aux questions en dimension 2 et montrons que la situation est nettement plus compliquée en dimension supérieure.

On s’intéresse aux difféomorphismes birationnels des surfaces algébriques réelles qui possèdent une dynamique réelle simple et une dynamique complexe riche. On donne un exemple d’une telle transformation sur ${\mathbb{P}}^1\times {\mathbb{P}}^1$, mais on montre qu’une telle situation est exceptionnelle et impose des conditions fortes à la fois sur la topologie du lieu réel et sur la dynamique réelle.

Nous précisons le comportement exponentiel de la fonction orbitale d'un quelconque groupe discret d'isométries en courbure négative.

En s’appuyant sur un théorème des fonctions implicites de Hamilton, nous montrons la persistance d’une courbe invariante indifférente pour une dynamique holomorphe fibrée de classe $C^{\infty }$. Une condition diophantienne sur la paire de nombres de rotation est demandée. On montre également que cette condition est optimale.

On démontre l’énoncé classique du théorème de décomposition de la polaire générique dans le contexte maximal des feuilletages courbes généralisées à modèle logarithmique non résonnant. On montre aussi la propriété d’éloignement des séparatrices pour le feuilletage polaire.

Soit $p$ un nombre premier rationnel. Le sujet de l’article est l’étude de la dynamique des fonctions entières $p$-adiques. On démontre des résultats analogues à ceux connus dans le domaine complexe, en particulier si deux fonctions entières $p$-adiques qui ont un point répulsif commun commutent, alors leurs ensembles de Julia et de Fatou sont les mêmes.

On démontre qu'une feuille transcendante d'un feuilletage analytique sur une surface fibrée doit intersecter toute courbe algébrique non invariante et non contenue dans une réunion de fibres de la fibration; comme application on montre qu'une équation différentielle algébrique qui possède une solution locale avec une singularité essentielle n'a pas de ramification mobile, ce qui généralise les théorèmes de Malmquist et Yosida.

Dans cet article nous étudions les feuilletages holomorphes réduits en dimension complexe 2. Plus précisément, nous caractérisons par leur espace de module analytique, ceux qui sont transversalement projectifs en dehors d'un sous-ensemble analytique propre. Ceci entraî ne que cette classe de feuilletages est obtenue par pull-back d'équations de Riccati. Nous montrons enfin que cette dernière propriété peut être mise en défaut dans le cas non réduit.