La conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer prédit que l’ordre $r_{\infty }$ du zéro en $s=1$ de la fonction $L$ d’une courbe elliptique $E$ définie sur $𝐐$ est égal au rang $r$ du groupe de ses points rationnels. On sait démontrer cette conjecture si $r_{\infty }=0$ ou $1$, mais on n’a aucun résultat reliant $r_{\infty }$ et $r$ si $r_{\infty }\ge 2$. Nous expliquerons comment Kato démontre que la fonction $L$$p$-adique attachée à $E$ a, en $s=1$, un...

Ce texte est consacré au système d’Euler de Kato, construit à partir des unités modulaires, et à son image par l’application exponentielle duale (loi de réciprocité explicite de Kato). La présentation que nous en donnons est sensiblement différente de la présentation originelle de Kato.

Let $p$ be a rational prime and $K$ a complete discrete valuation field with residue field $k$ of positive characteristic $p$. When $k$ is finite, generalizing the theory of Deligne [1], we construct in [10] and [11] a theory of local ${\epsilon }_0$-constants for representations, over a complete local ring with an algebraically closed residue field of characteristic $\ne p$, of the Weil group $W_K$ of $K$. In this paper, we generalize the results in [10] and [11] to the case where $k$ is an arbitrary perfect field.

The $p$-adic local Langlands correspondence for ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ attaches to any $2$-dimensional irreducible $p$-adic representation $V$ of $G_{{\mathbb{Q}}_p}$ an admissible unitary representation $\Pi \left(V\right)$ of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$. The unitary principal series of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ are those $\Pi \left(V\right)$ corresponding to trianguline representations. In this article, for $p\>2$, using the machinery of Colmez, we determine the space of locally analytic vectors $\Pi {\left(V\right)}_{\mathrm{an}}$ for all non-exceptional unitary principal series $\Pi \left(V\right)$ of ${\mathrm{GL}}_2\left({\mathbb{Q}}_p\right)$ by proving a conjecture of Emerton.