Soit $k=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-m}\right)$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_{\infty }$ et $F$ ses deux ${\mathbf{Z}}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient $𝒫$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\mathrm{mod}8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_{\infty }\cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal${\check{k}}_{\infty }F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho$, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre $𝒫$, $\chi$ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature...

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.

On considère dans cet article les pro-$p$-extensions maximales à ramification restreinte au-dessus de la ${\mathbb{Z}}_p$-extension cyclotomique d’un corps de nombres. Leur groupe de Galois est étudié, d’abord à travers le rang de la partie ${\mathbb{Z}}_p$-libre de leur abélianisé, puis par leurs nombres minimaux de générateurs et de relations. Pour cela, on utilise la théorie des corps de classes, et on reprend les éléments de l’étude par Koch des pro-$p$-extensions à ramification restreinte maximales, qui fonctionnent dans ce...

Soient $k$ le corps quadratique réel $\mathbf{Q}\left(\sqrt{d}\right)$ (respectivement le corps biquadratique $\mathbf{Q}(\sqrt{d},\sqrt{-3})$), $d$ un entier positif sans facteur carré, $K$ une extension cubique cyclique non ramifiée de $k$, diédrale sur $\mathbf{Q}$ totalement réelle, (respectivement diédrale sur $\mathbf{Q}\left(\sqrt{-3}\right)$.)On constate qu’on a deux structures possibles pour le groupe des unités $U_K$ de $K$, notées $alpha$ et $delta$.

Let $K$ be a biquadratic field, $K_2^{\left(1\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K$ and $K_2^{\left(2\right)}$ be the Hilbert $2$-class field of $K_2^{\left(1\right)}$. Our goal is to prove that there exists a biquadratic field $K$ such that $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ and the group $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ is semi-dihedral. Résumé. Soient $K$ un corps biquadratique, $K_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K$ et $K_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $K_2^{\left(1\right)}$. Notre but est de prouver qu’il existe des corps biquadratiques réels $K$ tels que le groupe $Gal(K_2^{\left(1\right)}/K)$ est de type $(2,2)$ et le groupe $Gal(K_2^{\left(2\right)}/K)$ est semi-diédral.

Soient $p_1\equiv p_2\equiv 1(mod8)$ des nombres premiers tels que, $\left(\frac{p_1}{p_2}\right)=-1$ et $\left(\frac{2}{a+b}\right)=-1$, où $p_1{p}_2=a^2+b^2$. Soient $i=\sqrt{-1}$, $d=p_1{p}_2$, $𝕜=\mathbb{Q}(\sqrt{d},i)$, ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ le 2-corps de classes de Hilbert de $𝕜$ et ${𝕜}^{(*)}=\mathbb{Q}(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2},i)$ le corps de genres de $𝕜$. La 2-partie $C_{𝕜,2}$ du groupe de classes de $𝕜$ est de type $(2,2,2)$, par suite ${𝕜}_2^{\left(1\right)}$ contient sept extensions quadratiques non ramifiées ${𝕂}_j/𝕜$ et sept extensions biquadratiques non ramifiées ${𝕃}_j/𝕜$. Dans ce papier on s’intéresse à déterminer ces quatorze extensions, le groupe $C_{𝕜,2}$ et à étudier la capitulation des 2-classes d’idéaux de $𝕜$ dans ces extensions.

General concepts and strategies are developed for identifying the isomorphism type of the second $p$-class group $G=\mathrm{Gal}\left({\mathrm{F}}_p^2\left(K\right)\right|K)$, that is the Galois group of the second Hilbert $p$-class field ${\mathrm{F}}_p^2\left(K\right)$, of a number field $K$, for a prime $p$. The isomorphism type determines the position of $G$ on one of the coclass graphs $𝒢(p,r)$, $r\ge 0$, in the sense of Eick, Leedham-Green, and Newman. It is shown that, for special types of the base field $K$ and of its $p$-class group ${\mathrm{Cl}}_p\left(K\right)$, the position of $G$ is restricted to certain admissible branches of coclass...

The so-called Lifted Root Number Conjecture is a strengthening of Chinburg’s $\Omega \left(3\right)$- conjecture for Galois extensions $K/F$ of number fields. It is certainly more difficult than the $\Omega \left(3\right)$-localization. Following the lead of Ritter and Weiss, we prove the Lifted Root Number Conjecture for the case that $F=\mathbb{Q}$ and the degree of $K/F$ is an odd prime, with another small restriction on ramification. The very explicit calculations with cyclotomic units use trees and some classical combinatorics for bookkeeping. An important...