Soient $A,B,C=A+B$ trois éléments de l’ensemble ${\mathbb{N}}^{*}$ des entiers > $0$ (resp. $ℂ\left[X\right]$) des polynômes complexes) premiers entre eux ; on note $r\left(ABC\right)$ le produit des facteurs premiers (resp. le nombre des facteurs premiers dans $ℂ\left[X\right]$) du produit $ABC$. La conjecture $\left(abc\right)$ énonce que, pour tout $ϵ\>0$, il existe $C_{ϵ}\>0$ pour lequel l’inégalité : $r\left(ABC\right)\ge C_{ϵ}{S}^{1-ϵ}$ avec $S=$ max$(A,B,C)$) est toujours vérifiée. Le théorème de Mason établit l’inégalité, $D$ (supposé > $0$) désignant le plus grand des degrés des polynômes $A,B,C:r\left(ABC\right)\ge D+1$. Les cas de triplets de polynômes où l’égalité...

Nous montrons que pour tout rationnel $\alpha$ de $[-1,1]$, l’ensemble des valeurs des polylogarithmes $\left\{{\mathrm{Li}}_s\left(\alpha \right),s\in \mathbb{N},s\ge 1\right\}$ contient une infinité de nombres $\mathbb{Q}$-linéairement indépendants.

Pour $q\in ℂ$, $\left|q\right|\<1$, on définit la $q$-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ${\displaystyle {\zeta }_q\left(k\right)=\sum _{n\ge 1}{\sigma }_{k-1}\left(n\right)q^n=\sum _{n\ge 1}\frac{n^{k-1}{q}^n}{1-q^n}}$.Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de $q$. La première concerne l’indépendance linéaire sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(k\right)$, pour $k\ge 1$, et la seconde l’indépendance algébrique sur $ℂ\left(q\right)$ des fonctions ${\zeta }_q\left(2\right),{\zeta }_q\left(4\right),{\zeta }_q\left(6\right)$, et des fonctions ${\zeta }_q(2k+1)$, $k\ge 0$. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.Dans cet article, nous considérons la fonction ${\displaystyle L(x,y)=\sum _{n\ge 1}\frac{y^n{x}^n}{1-x^n}}$, et, avec ${\displaystyle \tau =y\frac{d}{dy}}$, les...