In this report, prepared specially for the program of the XXVième Journées Arithmétiques, we describe how, in joint work with K. Soundararajan and Antal Balog, we have developed the notion of “pretentiousness” to help us better understand several key questions in analytic number theory.

In questo lavoro vengono migliorati i risultati ottenuti in «Primes in Almost All Short Intervals» riguardo la distribuzione dei primi in quasi tutti gli intervalli corti della forma $\left[g\left(n\right),g\left(n\right)+H\right]$, con $g\left(n\right)$ funzione reale appartenente ad una ampia classe di funzioni. Il problema viene trattato mettendo in relazione l'insieme eccezionale per la distribuzione dei primi in intervalli nella forma $\left[g\left(n\right),g\left(n\right)+H\right]$ con l'insieme eccezionale per la formula asintotica $$\psi \left(x+H\right)-\psi \left(x\right)\sim H\text{ as }x\to \mathrm{\infty }.$$ I risultati presentati vengono quindi ottenuti grazie allo studio...

Soient $P\left(\underset{\_}{x}\right)=P(x_1,...,x_n)$ et $Q\left(\underset{\_}{x}\right)=Q(x_1,...,x_n)$ deux polynômes à coefficients positifs vérifiant :$$\underset{\genfrac{}{}{0pt}{}{\left|\underset{\_}{x}\right|\to +\infty }{x_1,...,x_n\ge 1}}{lim}\frac{P\left(\underset{\_}{x}\right)}{Q\left(\underset{\_}{x}\right)}=+\infty .$$Soient $\underset{\_}{\eta }=({\eta }_1,...,{\eta }_n)\in {\mathbf{N}}^n$ et $R=P/Q$. On étudie la série de Dirichlet $Z(R,\underset{\_}{\eta };s)={\sum }_{{\eta }_1,...,{\eta }_n=1}^{\infty }{\underset{\_}{\eta }}^{\underset{\_}{\eta }}R(\underset{\_}{\eta }{)}^{-s}$ : abscisse de convergence absolue, existence et nature du prolongement méromorphe, ordre de grandeur dans les bandes verticales. On donne un procédé de construction du prolongement méromorphe de la fonction $s\mapsto Z(R,\underset{\_}{\eta };s)$ qui ne dépend que de $\underset{\_}{\eta }$ et de certains monômes de $P$ et $Q$: les monômes extrémaux.

Nous montrons dans la première partie l’existence d’un prolongement méromorphe à tout le plan complexe$ℂ$ et explicitons les propriétés et quelques conséquences, d’une large classe de séries zêta des hauteurs associées à l’espace projectif ${\mathbb{P}}_n\left(\mathbb{Q}\right)$$(n\ge 1...$

Dans ce travail nous nous intéressons à l’étude d’une famille de séries paramétrées de Dirichlet qui englobe les polyzêtas colorés d’une part et les polyzêtas de Hurwitz d’autre part. Cette famille de fonctions vérifie deux relations de mélange ; nous mentionnons aussi des relations quasi-périodiques et des relations de translation de variables. Nous donnons un codage en terme d’intégrales itérées des séries étudiées, qui conduit à leur représentation intégrale. Celle-ci permet d’en effectuer un...