Nous donnons les démonstrations détaillées de résultats annoncés précédemment (dans [3]), concernant le comportement quand $N$ tend vers l’infini de la distribution des valeurs sur les entiers de 1 à $N$ d’une fonction multiplicative complexe de module $\le 1$. Nous ajoutons quelques remarques non contenues dans $[$3$]$.

On donne des estimations précises pour les quantités $\frac{1}{X}{\sum }_{n\le X}|f\left(n\right)-A{|}^{\beta }$, où $f$ est une fonction arithmétique additive et $A,\beta \>0$ et $x\ge 1$ sont des nombres réels.

Soit $P$ une partie discrète et multiplicativement libre de la demi-droite ouverte $]1,\infty [$, et $N$ le semi-groupe unitaire engendré par $P$. Les éléments de $P$ s’appellent nombres premiers généralisés et ceux de $N$ entiers généralisés. Les fonctions de décompte correspondantes sont désignées $P\left(x\right)$ et $N(x$). Le problème de Beurling consiste à donner des conditions sur $N\left(x\right)$ qui entrainent le “ théorème des nombres premiers ” $P\left(x\right)\sim x/logx(x\to \infty )$. En posant $N\left(x\right)=Dx+xϵ\left(x\right)$, la condition de Beurling est $ϵ\left(x\right)=O\left({(logx)}^{-a}\right)$ avec $a\>\frac{3}{2}$, et il y a un contre-exemple avec $a=\frac{3}{2}$. L’article...

Let Ω(n) and ω(n) denote the number of distinct prime factors of the positive integer n, counted respectively with and without multiplicity. Let $d_k\left(n\right)$ denote the Piltz function (which counts the number of ways of writing n as a product of k factors). We obtain a precise estimate of the sum ${\sum }_{n\le x,\Omega \left(n\right)-\omega \left(n\right)=q}f\left(n\right)$ for a class of multiplicative functions f, including in particular $f\left(n\right)=d_k\left(n\right)$, unconditionally if 1 ≤ k ≤ 3, and under some reasonable assumptions if k ≥ 4. The result also applies to f(n) = φ(n)/n (where φ is the totient...

Soit $N$ un nombre entier. On développe ici une méthode générale fournissant un équivalent asymptotique de la somme “courte”$$\sum _{\genfrac{}{}{0pt}{}{d|N}{x\le d\le x+y}}1$$sous certaines conditions relatives à $N,x,y$. Plusieurs applications sont traitées, notamment la preuve d’une conjecture d’Erdös relative à la répartition des diviseurs de $k$!

E. Landau has given an asymptotic estimate for the number of integers up to x whose prime factors all belong to some arithmetic progressions. In this paper, by using the Selberg-Delange formula, we evaluate the number of elements of somewhat more complicated sets. For instance, if ω(m) (resp. Ω(m)) denotes the number of prime factors of m without multiplicity (resp. with multiplicity), we give an asymptotic estimate as x → ∞ of the number of integers m satisfying $2^{\omega \left(m\right)}m\le x$, all prime factors of m are congruent...