Soit $k=\mathbf{Q}\left(\sqrt{-m}\right)$ un corps quadratique imaginaire, soient $k_{\infty }$ et $F$ ses deux ${\mathbf{Z}}_2$-extensions naturelles (la cyclotomique et la prodiédrale), et soit $\check{k}$ son 2-corps de classes de Hilbert. Soient $𝒫$ le complété en 2 de $k$, $\rho =0$ ou 1, égale à 1 si et seulement si tout diviseur impair de $m$ est congru à $\pm 1\mathrm{mod}8$, $\chi =0$ ou 1 le 2-rang de Gal$(k_{\infty }\cap F/k)$, et $t=0,1$ ou 2 le 2-rang de Gal${\check{k}}_{\infty }F\cap \check{k}/k).$ On a $\chi \le \rho$, et des considérations cohomologiques élémentaires nous donnent d’autres contraintes entre $𝒫$, $\chi$ et $t$, mais nous trouvons 2 obstructions supplémentaires de nature...

On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser en un premier $p$ si toute extension modérée abélienne finie de degré $p$ admet une base normale entière. On dit qu’un corps est de Hilbert-Speiser s’il est de Hilbert-Speiser pour tout premier $p$. Il est bien connu que $\mathbb{Q}$ est un tel corps. Dans un article [3] de 1998, Greither, Replogle, Rubin et Srivastav ont montré que $\mathbb{Q}$ était le seul corps de Hilbert-Speiser. On donne ici une condition nécessaire et suffisante pour qu’un corps soit de Hilbert-Speiser en $p=2$....

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.