Le groupe $H_8\times C_2$ est le plus petit groupe pour lequel existent des modules stablement libres non libres. On montre que toutes les classes d’isomorphisme de tels modules peuvent être représentées une infinité de fois par des anneaux d’entiers. On applique un travail de classification de Swan, pour cela on doit construire explicitement des bases normales d’entiers d’extensions à groupe $H_8$; cela se fait en liant un critère de Martinet avec une construction de Witt.

For certain imaginary abelian fields we find annihilators of the minus part of the class group outside the Stickelberger ideal. Depending on the exact situation, we use different techniques to do this. Our theoretical results are complemented by numerical calculations concerning borderline cases.

This paper is devoted to a construction of new annihilators of the ideal class group of a tamely ramified compositum of quadratic fields. These annihilators are produced by a modified Rubin’s machinery. The aim of this modification is to give a stronger annihilation statement for this specific type of fields.

Soit $\ell$ un nombre premier impair. Soit $K$ une extension abélienne réelle de $\mathbf{Q}$ de degré premier à $\ell$ et soit $G$ son groupe de Galois; soit $\phi$ ($\phi \ne 1$) un caractère $\ell$-adique irréductible de $K$. Soit $M$ la $\ell$-extension abélienne maximale de $K$ non ramifiée en dehors de $\ell$ et soit $𝒜$ le ${\mathbf{Z}}_{\ell }\left[G\right]$-module Gal$(M/K)$ ; ${𝒜}^{\phi }$ (la $\phi$-composante de $𝒜$) est un module fini sur l’anneau des entiers ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ de ${\mathbf{Q}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ (corps des valeurs sur ${\mathbf{Q}}_{\ell }$ d’un caractère ${\psi }^{\text{'}}$ de degré 1 divisant $\phi$). On construit explicitement pour tout $n\ge 0$ un élément ${𝒮}_n$ de ${\mathbf{Z}}_{\ell }^{{\psi }^{\text{'}}}$ qui annule le module...

The relative class number $H_d\left(f\right)$ of a real quadratic field K = ℚ (√m) of discriminant d is defined to be the ratio of the class numbers of ${}_f$ and ${}_K$, where ${}_K$ denotes the ring of integers of K and ${}_f$ is the order of conductor f given by $\mathbb{Z}+f_K$. R. Mollin has shown recently that almost all real quadratic fields have relative class number 1 for some conductor. In this paper we give a characterization of real quadratic fields with relative class number 1 through an elementary approach considering the cases when...

We study the Iwasawa theory of a CM elliptic curve $E$ in the anticyclotomic ${\mathbf{Z}}_p$-extension of the CM field, where $p$ is a prime of good, ordinary reduction for $E$. When the complex $L$-function of $E$ vanishes to even order, Rubin’s proof of the two variable main conjecture of Iwasawa theory implies that the Pontryagin dual of the $p$-power Selmer group over the anticyclotomic extension is a torsion Iwasawa module. When the order of vanishing is odd, work of Greenberg show that it is not a torsion module. In...

Nous étudions les fonctions $p$-adiques associées à des séries du type$$Z(P,Q,\xi )\left(s\right)=\sum _{n\in {\mathbf{N}}^r}Q\left(n\right){\xi }^{n}P(n{)}^{-s}$$dans certains cas, où elles admettent un prolongement méromorphe à $C$ avec un nombre fini de pôles et des valeurs aux entiers négatifs algébriques. On retrouve comme cas particulier les fonctions $L$$p$-adiques des corps totalement réels et les fonctions $\Gamma$-multiples $p$-adiques.