Every compact Kähler surface is deformation equivalent to a projective surface. In particular, topologically Kähler surfaces and projective surfaces cannot be distinguished. Kodaira had asked whether this continues to hold in higher dimensions. We explain the construction of a series of counter-examples due to C. Voisin, which yields compact Kähler manifolds of dimension at least four whose rational homotopy type is not realized by any projective manifold.

On généralise ici un théorème de Grauert-Manin pour les courbes (problème de Mordell pour les corps de fonctions). Soit $L$ un corps de fonctions algébriques sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique 0, $X$ une variété propre et lisse sur $L$, dont le fibré cotangent ${\Omega }_{X/L}^1$ est ample; si l’ensemble de ses points rationnels est Zariski-dense, la variété $X$ se redescend sur $k$.

On donne des propriétés de la catégorie tannakienne des modules de Dieudonné filtrés sur un corps $p$-adique (ces modules de Dieudonné jouent en $p$-adique un rôle analogue aux structures de Hodge complexes). On prouve l’existence d’un foncteur fibre sur ${\mathbf{Q}}_p$ et la simple connexité du groupe associé. Ceci permet de montrer, sous la conjecture de Fontaine : “faiblement admissible entraîne admissible”, une conjecture de Rapoport et Zink décrivant le torseur entre cohomologie cristalline et étale, et de prouver...

Let $k$ be a field of characteristic $p\>0$. Let $D_m$ be a ${BT}_m$ over $k$ (i.e., an $m$-truncated Barsotti–Tate group over $k$). Let $S$ be a $k$-scheme and let $X$ be a ${BT}_m$ over $S$. Let $S_{D_m}\left(X\right)$ be the subscheme of $S$ which describes the locus where $X$ is locally for the fppf topology isomorphic to $D_m$. If $p\ge 5$, we show that $S_{D_m}\left(X\right)$ is pure in $S$, i.e. the immersion $S_{D_m}\left(X\right)\hookrightarrow S$ is affine. For $p\in \{2,3\}$, we prove purity if $D_m$ satisfies a certain technical property depending only on its $p$-torsion $D_m\left[p\right]$. For $p\ge 5$, we apply the developed techniques to show that all level $m$...