The structure of the section space of a real analytic vector bundle on a real analytic manifold X is studied. This is used to improve a result of Grothendieck and Poly on the zero spaces of elliptic operators and to extend a result of Domański and the author on the non-existence of bases to the present case.

For a germ (X,0) of normal complex space of dimension n + 1 with an isolated singularity at 0 and a germ f: (X,0) → (ℂ,0) of holomorphic function with df(x) ≤ 0 for x ≤ 0, the fibre-integrals     $s\mapsto {\int }_{f=s}\varrho {\omega }^{\text{'}}\bigwedge \overline{{\omega }^{\text{'}\text{'}}},\varrho \in C_c^{\infty }\left(X\right),{\omega }^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}\text{'}}\in {\Omega }_X^n$, are $C^{\infty }$ on ℂ* and have an asymptotic expansion at 0. Even when f is singular, it may happen that all these fibre-integrals are $C^{\infty }$. We study such maps and build a family of examples where also fibre-integrals for ${\omega }^{\text{'}},{\omega }^{\text{'}\text{'}}\in {⍹}_X$, the Grothendieck sheaf, are $C^{\infty }$.

We study Levi-flat real analytic hypersurfaces with singularities. We prove that the Levi foliation on the regular part of the hypersurface can be holomorphically extended, in a suitable sense, to neighbourhoods of singular points.

On étudie les singularités et l’intégrabilité d’une classe de fonctions plurisousharmoniques sur une variété analytique $X$ de dimension $n\ge 1$. Pour étudier ce problème, nous commençons par contrôler les nombres de Lelong de certains types de fonctions plurisousharmoniques $\varphi$. Ensuite, nous étudions les singularités du transformé strict du courant $d{d}^c\varphi$ par un éclatement de $X$ au dessus d’un point. Nous répondons ainsi positivement au problème d’intégrabilité locale de ${\mathrm{e}}^{-\varphi }$, lorsque $\dim X=2$, et lorsque $\varphi$ est une fonction plurisousharmonique...

We describe the slopes, with respect to the coordinates hyperplanes, of the hypergeometric systems of codimension one, that is when the toric ideal is generated by one element.

Soient $k$ un corps commutatif et $I=(p_1,\cdots ,p_m)k_n\left[X\right]$ un idéal de l’anneau des polynômes $k[X_1,\cdots ,X_n]$ (éventuellement $I=k_n\left[X\right]$). Nous prouvons une conjecture de C. Berenstein - A. Yger qui affirme que pour tout polynôme $p$, élément de la clôture intégrale $\overline{I}$ de l’idéal $I$, on a une représentation$$p^m=\sum _{1\le i\le m}{p}_i{q}_i,\text{avec}maxdeg\left(q_i{p}_i\right)\le mdegp+m{d}_1\cdots d_m,$$où $d_i=deg{p}_i,1\le i\le m$.