For each transitive permutation group $G$ on $n$ letters with $n\le 4$, we give without proof results, conjectures, and numerical computations on discriminants of number fields $L$ of degree $n$ over $\mathbb{Q}$ such that the Galois group of the Galois closure of $L$ is isomorphic to $G$.

Considérons le cardinal $h_3^{*}\left(\Delta \right)$ de l’ensemble des racines cubiques de l’unité dans le groupe des classes de $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\Delta }\right)$, où $\Delta$ est un discriminant fondamental. Un résultat de Davenport et Heilbronn calcule la valeur moyenne de ces nombres quand $\Delta$ varie. On obtient ici géométriquement une borne explicite pour le reste, avec la possibilité supplémentaire de restreindre les $\Delta$ à des progressions arithmétiques. Des techniques de crible permettent alors d’évaluer la 3-partie des $\mathbb{Q}\left(\sqrt{\pm P_k}\right)$, où $P_k$ est pseudo-premier d’ordre $k$. On...

We explain a variant of the Fiat-Shamir identification and signature protocol that is based on the intractability of computing generators of principal ideals in algebraic number fields. We also show how to use the Cohen-Lenstra-Martinet heuristics for class groups to construct number fields in which computing generators of principal ideals is intractable.