The determination of the class number of totally real fields of large discriminant is known to be a difficult problem. The Minkowski bound is too large to be useful, and the root discriminant of the field can be too large to be treated by Odlyzko's discriminant bounds. We describe a new technique for determining the class number of such fields, allowing us to attack the class number problem for a large class of number fields not treatable by previously known methods. We give an application to Weber's...

Soient $k$ un corps de nombres et $𝒞l\left(k\right)$ son groupe des classes. Une extension de $k$ à groupe de Galois isomorphe au groupe alterné $A_4$ est dite alternée. Soit $E/k$ une extension cyclique de degré $3$. On calcule la classe de Steinitz, dans $𝒞l\left(k\right)$, de toute extension alternée contenant $E$. Sous l’hypothèse que le nombre des classes de $k$ est impair, on détermine l’ensemble de telles classes et on montre que c’est un sous-groupe de $𝒞l\left(k\right)$ lorsque l’anneau des entiers de $E$ est libre sur celui de $k$ ou $3$ ne divise pas l’ordre...

Nous définissons le $2$-groupe des classes logarithmiques signées d’un corps de nombres par analogie avec le groupe des classes d’idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de l’arithmétique des classes logarithmiques signées.

We study series of the form ${\displaystyle \sum _M|{Aut}_R{\left(M\right)|}^{-1}{\left|M\right|}^{-u}}$, where $R$ is a commutative local ring, $u$ is a non-negative integer, and the summation extends over all finite $R$-modules $M$, up to isomorphism. This problem is motivated by Cohen-Lenstra heuristics on class groups of number fields, where sums of this kind occur. If $R$ has additional properties, we will relate the above sum to a limit of zeta functions of the free modules $R^n$, where these zeta functions count $R$-submodules of finite index in $R^n$. In particular we will show that...

Le but de cet article est d’expliquer comment calculer exactement le nombre de classes d’isomorphismes d’extensions abéliennes de $\mathbb{Q}$ en degré inférieur ou égal à $4$ et de discriminant majoré par une borne donnée. On parvient par exemple à calculer le nombre de corps cubiques cycliques de discriminant inférieur ou égal à ${10}^{37}$.

We present an algorithm for computing the 2-group ${𝒞\ell }_F^{pos}$ of the positive divisor classes in case the number field $F$ has exceptional dyadic places. As an application, we compute the 2-rank of the wild kernel $W{K}_2\left(F\right)$ in $K_2\left(F\right)$.

Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

The purpose of this paper is to interpret the results of Jakubec and his collaborators on congruences of Ankeny-Artin-Chowla type for cyclic totally real fields as an elementary algebraic version of the p-adic class number formula modulo powers of p. We show how to generalize the previous results to congruences modulo arbitrary powers $p^t$ and to equalities in the p-adic completion ${\mathbb{Q}}_p$ of the field of rational numbers ℚ. Additional connections to the Gross-Koblitz formula and explicit congruences for...