Nous définissons le $2$-groupe des classes logarithmiques signées d’un corps de nombres par analogie avec le groupe des classes d’idéaux au sens restreint et nous établissons les résultats de base de l’arithmétique des classes logarithmiques signées.

We study series of the form ${\displaystyle \sum _M|{Aut}_R{\left(M\right)|}^{-1}{\left|M\right|}^{-u}}$, where $R$ is a commutative local ring, $u$ is a non-negative integer, and the summation extends over all finite $R$-modules $M$, up to isomorphism. This problem is motivated by Cohen-Lenstra heuristics on class groups of number fields, where sums of this kind occur. If $R$ has additional properties, we will relate the above sum to a limit of zeta functions of the free modules $R^n$, where these zeta functions count $R$-submodules of finite index in $R^n$. In particular we will show that...

Le but de cet article est d’expliquer comment calculer exactement le nombre de classes d’isomorphismes d’extensions abéliennes de $\mathbb{Q}$ en degré inférieur ou égal à $4$ et de discriminant majoré par une borne donnée. On parvient par exemple à calculer le nombre de corps cubiques cycliques de discriminant inférieur ou égal à ${10}^{37}$.

We present an algorithm for computing the 2-group ${𝒞\ell }_F^{pos}$ of the positive divisor classes in case the number field $F$ has exceptional dyadic places. As an application, we compute the 2-rank of the wild kernel $W{K}_2\left(F\right)$ in $K_2\left(F\right)$.

Soient $d$ est un entier sans facteurs carrés, $\mathbf{K}=\mathbf{Q}(\sqrt{d},i)$, $i=\sqrt{-1}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de $\mathbf{K}$, ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}$ le $2$-corps de classes de Hilbert de ${\mathbf{K}}_2^{\left(1\right)}$ et $G=\mathrm{Gal}({\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K})$ le groupe de Galois de ${\mathbf{K}}_2^{\left(2\right)}/\mathbf{K}$. Notre but est de montrer qu’il existe une forme de $d$ tel que le $2$-groupe $G$ est non métacyclique et de donner une condition nécessaire et suffisante pour que le groupe $G$ soit métacyclique dans le cas où $d=2p$ avec $p$ un nombre premier tel que $p\equiv 1(mod4)$.

The purpose of this paper is to interpret the results of Jakubec and his collaborators on congruences of Ankeny-Artin-Chowla type for cyclic totally real fields as an elementary algebraic version of the p-adic class number formula modulo powers of p. We show how to generalize the previous results to congruences modulo arbitrary powers $p^t$ and to equalities in the p-adic completion ${\mathbb{Q}}_p$ of the field of rational numbers ℚ. Additional connections to the Gross-Koblitz formula and explicit congruences for...

In this note we explain a way to associate to any number field some connected complex abelian Lie groups. Further, we study the case of non-totally real cubic number fields, and we see that they are intimately related with the Cousin groups (toroidal groups) of complex dimension $2$ and rank $3$.