In a recent paper, Freitas and Siksek proved an asymptotic version of Fermat’s Last Theorem for many totally real fields. We prove an extension of their result to generalized Fermat equations of the form $A{x}^p+B{y}^p+C{z}^p=0$, where A, B, C are odd integers belonging to a totally real field.

We explore the question of how big the image of a Galois representation attached to a $\Lambda$-adic modular form with no complex multiplication is and show that for a “generic” set of $\Lambda$-adic modular forms (normalized, ordinary eigenforms with no complex multiplication), all have a large image.

Let $E$ be a CM number field, $p$ an odd prime totally split in $E$, and let $X$ be the $p$-adic analytic space parameterizing the isomorphism classes of $3$-dimensional semisimple $p$-adic representations of $\mathrm{Gal}(\overline{E}/E)$ satisfying a selfduality condition “of type $\mathrm{U}\left(3\right)$”. We study an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context and show that each irreducible component of the Zariski-closure of the modular points in $X$ has dimension at least $3[E:\mathbb{Q}]$. As important steps, and in any rank, we prove that any first order...

Let $f$ be a primitive cusp form of weight at least 2, and let ${\rho }_f$ be the $p$-adic Galois representation attached to $f$. If $f$ is $p$-ordinary, then it is known that the restriction of ${\rho }_f$ to a decomposition group at $p$ is “upper triangular”. If in addition $f$ has CM, then this representation is even “diagonal”. In this paper we provide evidence for the converse. More precisely, we show that the local Galois representation is not diagonal, for all except possibly finitely many of the arithmetic members of a non-CM...

We show that the generalized Fermat equations with signatures (5,5,7), (5,5,19), and (7,7,5) (and unit coefficients) have no non-trivial primitive integer solutions. Assuming GRH, we also prove the non-existence of non-trivial primitive integer solutions for the signatures (5,5,11), (5,5,13), and (7,7,11). The main ingredients for obtaining our results are descent techniques, the method of Chabauty-Coleman, and the modular approach to Diophantine equations.

Le but de cette note est de donner une démonstration complète du théorème 4.1 de [5] qui a pour objet d’expliciter l’action de l’inertie modérée sur la semi-simplifiée modulo $p$ d’une certaine famille (assez restreinte) de représentations cristallines $V$ du groupe de Galois absolu d’un corps $p$-adique $K$. Lorsque $K$ n’est pas absolument ramifié, le calcul de cette action a déjà été accompli par Fontaine et Laffaille qui ont montré qu’elle est entièrement déterminée par les poids de Hodge-Tate de $V$, au...

We determine the type of the zeta functions and the range of the dimensions of the moduli spaces of finite flat models of two-dimensional local Galois representations over finite fields. This gives a generalization of Raynaud’s theorem on the uniqueness of finite flat models in low ramifications.

Soit $K$ un corps de valuation discrète complet de caractéristique $0$, dont le corps résiduel $k_K$ est de caractéristique $p$. On suppose que $k_K$ admet une $p$-base finie. Soient $\overline{K}$ une clôture algébrique de $K$ et $G_K=\mathrm{Gal}\left(\overline{K}/K\right)$. On construit et étudie des anneaux de périodes $p$-adiques ${\mathrm{B}}_{\mathrm{cris}}\subset {\mathrm{B}}_{\mathrm{dR}}$ qui généralisent ceux définis par J.-M. Fontaine dans le cas où le corps résiduel $k_K$ est parfait. Ces anneaux sont munis des structures supplémentaires habituelles ainsi que d’une connexion. Ils permettent d’étendre les notions de représentation...

On calcule le module des normes universelles pour une représentation $p$-adique de de Rham. Le calcul utilise la théorie des $(\varphi ,\Gamma )$-modules (la formule de réciprocité de Cherbonnier-Colmez) et l’équation différentielle associée à une représentation de de Rham.

Les deux résultats principaux de cette note sont d’une part que si $V$ est une représentation de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui est potentiellement trianguline, alors $V$ vérifie au moins une des propriétés suivantes (1) $V$ est trianguline déployée (2) $V$ est une somme de caractères ou une induite (3) $V$ est une représentation de de Rham tordue par un caractère, et d’autre part qu’il existe des représentations de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui ne sont pas potentiellement triangulines.