Dans ce texte, nous commençons par étudier les anneaux locaux d’un (bon) espace de Berkovich du point de vue de l’algèbre commutative  : nous montrons qu’ils sont excellents  ; nous nous intéressons au comportement de certaines de leurs propriétés éventuelles ($R_m$, $S_m$, etc.) par extension des scalaires, et pour ce faire nous introduisons la notion d’extension analytiquement séparable d’un corps ultramétrique complet  ; nous établissons enfin à leur sujet des théorèmes de type GAGA pour les schémas...

Classical results of Weil, Néron and Tate are generalized to local heights of subvarieties with respect to hermitian pseudo-divisors. The local heights are well-defined if the intersection of supports is empty. In the archimedean case, the metrics are hermitian and the local heights are defined by a refined version of the $*$-product of Gillet-Soulé developped on compact varieties without assuming regularity. In the non-archimedean case, the local heights are intersection numbers using methods from...

Soit $X$ un schéma projectif intègre défini sur un corps de nombres $F$ ; soit $L$ un fibré en droites ample sur $X$ muni d’une métrique adélique semi-positive au sens de Zhang. Les résultats principaux de cet article sont :(1)Une formule qui calcule les hauteurs locales (relativement à $L$) d’un diviseur de Cartier sur $X$ comme des « mesures de Mahler » généralisées, c’est-à-dire les intégrales de fonctions de Green pour $D$ contre des mesures associées à $L$ ;(2)Un théorème d’équidistribution des points de « petite »...

Let $J_0\left(𝔫\right)$ be the Jacobian variety of the Drinfeld modular curve $X_0\left(𝔫\right)$ over ${𝔽}_q\left(t\right)$, where $𝔫$ is an ideal in ${𝔽}_q\left[t\right]$. Let $0\to B\to J_0\left(𝔫\right)\to A\to 0$ be an exact sequence of abelian varieties. Assume $B$, as a subvariety of $J_0\left(𝔫\right)$ , is stable under the action of the Hecke algebra $𝕋\subset$ End $\left(J_0\left(𝔫\right)\right)$. We give a criterion which is sufficient for the exactness of the induced sequence of component groups $0\to {\Phi }_{B,\infty }\to {\Phi }_{J,\infty }\to {\Phi }_{A,\infty }\to 0$ of the Néron models of these abelian varieties over ${𝔽}_q\left[\left[\frac{1}{t}\right]\right]$. This criterion is always satisfied when either $A$ or $B$ is one-dimensional. Moreover, we prove that the sequence...

In this paper we study certain moduli spaces of Barsotti-Tate groups constructed by Rapoport and Zink as local analogues of Shimura varieties. More precisely, given an isogeny class of Barsotti-Tate groups with unramified additional structures, we investigate how the associated (non-basic) moduli spaces compare to the (basic) moduli spaces associated with its isoclinic constituents. This aspect of the geometry of the Rapoport-Zink spaces is closely related to Kottwitz’s prediction that their $l$-adic...

Let $E$ be a CM number field, $p$ an odd prime totally split in $E$, and let $X$ be the $p$-adic analytic space parameterizing the isomorphism classes of $3$-dimensional semisimple $p$-adic representations of $\mathrm{Gal}(\overline{E}/E)$ satisfying a selfduality condition “of type $\mathrm{U}\left(3\right)$”. We study an analogue of the infinite fern of Gouvêa-Mazur in this context and show that each irreducible component of the Zariski-closure of the modular points in $X$ has dimension at least $3[E:\mathbb{Q}]$. As important steps, and in any rank, we prove that any first order...

Je présenterai des résultats de T. Ekedahl et H. Esnault sur les variétés projectives lisses sur un corps de caractéristique strictement positive, disons $p$, dont deux points peuvent être liés par une chaîne de courbes rationnelles, par exemple faiblement unirationnelles, ou de Fano. Notamment : 1) sur un corps fini, de telles variétés ont un point rationnel, résultat qui généralise le théorème de Chevalley-Warning ; 2) sur un corps algébriquement clos, de telles variétés ont un groupe fondamental...

We show that for a local, discretely valued field $F$, with residue characteristic $p$, and a variety $𝒰$ over $F$, the map $\rho :\mathrm{Gal}(F^{\mathrm{sep}}/F)\to \mathrm{Out}\left({\pi }_{1,\mathrm{geom}}^{\left(p^{\text{'}}\right)}\right(𝒰\left)\right)$ to the outer automorphisms of the prime to $p$ geometric étale fundamental group of $𝒰$ maps the wild inertia onto a finite image. We show that under favourable conditions $\rho$ depends only on the reduction of $𝒰$ modulo a power of the maximal ideal of $F$. The proofs make use of the theory of logarithmic schemes.

We develop a rigid-analytic theory of relative ampleness for line bundles and record some applications to faithfully flat descent for morphisms and proper geometric objects. The basic definition is fibral, but pointwise arguments from the algebraic and complex-analytic cases do not apply, so we use cohomological properties of formal schemes over completions of local rings on rigid spaces. An analytic notion of quasi-coherence is introduced so that we can recover a proper object from sections of...

Nous construisons un complexe de représentations localement analytiques de ${\mathrm{GL}}_3\left({\mathbb{Q}}_p\right)$, associé à certaines représentations semi-stables de dimension $3$ du groupe de Galois absolu de ${\mathbb{Q}}_p$. Nous montrons ensuite que l’on peut retrouver le $(\varphi ,N)$-module filtré de la représentation galoisienne en considérant les morphismes, dans la catégorie dérivée des $D\left({\mathrm{GL}}_3\left({\mathbb{Q}}_p\right)\right)$-modules, de ce complexe dans le complexe de de Rham de l’espace de Drinfel’d de dimension $2$. La preuve requiert le calcul de certains espaces de cohomologie localement...

Les deux résultats principaux de cette note sont d’une part que si $V$ est une représentation de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui est potentiellement trianguline, alors $V$ vérifie au moins une des propriétés suivantes (1) $V$ est trianguline déployée (2) $V$ est une somme de caractères ou une induite (3) $V$ est une représentation de de Rham tordue par un caractère, et d’autre part qu’il existe des représentations de $Gal({\overline{\mathbf{Q}}}_p/{\mathbf{Q}}_p)$ de dimension $2$ qui ne sont pas potentiellement triangulines.